Распил стола при девятерых

Автор — господин Фантомас, г.Ванкувер

Стоит ли?

Шериф отстрелен в первую ночь. У него красная проверка. Почему пилить на троих это хорошая идея?

  • Это чистая теория вероятности. Как будет показано ниже, в случае подъема троих вероятность победы города 21.4%, а в случае если убивать по одному 12.1%. Почти вдвое выше. Конечно это все равно не выдающиеся шансы, но что вы хотели? Шериф убит в первую ночь. 
  • Вы выгоняете трех подозрительных игроков, которых все равно придется выгонять по одному. Если выгонять их по одному и там двое красных, то вы проиграете. А если выгнать всех вместе, то игра продолжится. Это ваш шанс убить двух красных днем и не проиграть. Из этого, кстати, следует, что при девятерых пилить надо всегда, а не только при убитом шерифе, но это мы оставим для будущих статей.
  • Другой взгляд на то же самое. Если вы убиваете по одному, то вы убиваете по очереди с мафией. Вы убиваете самого подозрительного, мафия самого красного, вы самого подозрительного, мафия самого красного. И так далее. В случае распила вы перехватываете инициативу и убиваете сразу трех подозрительных. На самом деле, это тот же довод, что и предыдущий, просто высказанный другими словами.

Какие есть доводы против распила?

  • Игроки вместо позиций обсуждают распил.
  • Нет ни одного значимого голосования. В раунде распила все голосуют как сказано, а оттуда идут непосредственно в критику.

Я не буду изображать объективность и скажу, что не считаю доводы против распила сколько нибудь весомыми. Скажу контрдоводы на них и на этом закончим с вопросом “Стоит ли?”. Стоит.

  • Кого поставить в распил — это и есть позиции игроков. Так что обсуждая распил они обсуждают позиции.
  • Значимого голосования нет и в обратном случае. Как черный я попросту бабахну руку вместе с проверенным красным и поди потом предъяви мне, что я голосовал не так. Причем, мне все равно, в кого проверенный красный будет голосовать. Если в моего черного, то ничего страшного. От нас не убудет. У нас и так все хорошо, шериф убит, главное теперь сидеть как можно ровнее. Лучше убьем своего, но не дадим красным на себя компромата, что руки куда-то не туда кидали. Так что ловим руку проверенного и не паримся. Ну и как теперь считать это голосование значимым?

Как пилить

Главное не паникуйте. Если вы проверенный красный и боитесь пилить, доверьтесь кому нибудь поопытнее кто вне распила, пусть они распилят. Если они черные, то все равно не рискнут сделать не правильный распил. Им же теперь надо досиживать. Зачем им палиться? Так что верьте им, они все сделают правильно.

Даже если вы и сами знаете как делаются распилы, можно конкретику передоверить последнему говорящему, а самому сосредоточиться на решении, кого поставить в тройку. Стол с гораздо большим интересом ждет от вас именно этого решения, а не технических деталей кому куда голосовать.

Но в остальном, это нехорошо, что вы не умеете пилить и боитесь распилов. Я вас решительно и категорически осуждаю. Но все поправимо. Слушайте меня и все у вас будет хорошо.

Чтобы сделать правильный распил вам надо запомнить в каком порядке выставлены игроки. Это важно. Например, предположим вы хотите распилить между игроками 3, 5, 9. Они выставлены в порядке 9, 3, 5. Сами вы сидите на номере 4 и вы проверенный красный. А ночью застрелен 8, который был шерифом. Распил делается так:

  1. Все три игрока стоящие в распиле голосуют в первого выставленного. В нашем примере первый выставленный 9. Значит 3-5-9 голосуют против 9.
  2. Проверенный красный голосует в последнего выставленного. В нашем случае последний выставленный это 5. Значит вы (номер 4) голосуете против 5.
  3. Как голосуют остальные не важно. Назначьте как попало. Например в нашем случае пусть 1-2-6 голосуют против 3, а 7-10 вместе с вами против 5.

Собственно все. Просто назначайте по этим трем правилам и все будет в порядке. Напомню, что в нашем примере 3-5-9 голосуют против 9; 1-2-6 против 3; а 4-7-10 против 5.  Во время голосования вам надо следить, чтобы все происходило как предписано. Вот как надо поступать в ситуациях когда кто-то пытается ломать.

  • Если 3 не голосует против 9, все остальные игроки голосуют против 3.
  • Если 5 не голосует против 9, все остальные игроки голосуют против 5.
  • Если 9 не ставит руку сразу как только объявлено голосование против 9, все игроки докидывают руки в 9. Из такого количества игроков кто нибудь обязательно успеет. Игроку номер 9 надо перед голосованием объяснить, чтобы голосовал без задержки, иначе улетит. Его рука против себя должна быть на столе первой.
  • Если ломает кто-то из остальных игроков, то пусть ломает. У нас не критический раунд. Разберемся с этим деятелем позже.

Таким образом получается, что любой игрок из распила может сломать только в себя. Это гарантирует, что либо распил состоится, либо уйдет черный.

Если вы не помните, кто в каком порядке выставлен, не паникуйте. Распилите как нибудь. Произвольно. Скажите, (в нашем примере) 1-2-3 голосуют против 5; 4-5-6 против 9; 7-9-10 против 3. В этом случае участники распила могут сломать в кого-то кроме себя. Ну и не страшно. Раунд не критический, пусть ломают. В следующем раунде убьем их самих.

Неправильный распил — не конец света. Но все таки лучше пилить правильно. Шансы на победу в этом случае чуть выше. Ну а теперь перейдем к подсчетам вероятностей и покажем, почему распил выгоден городу не на голых доводах, а на конкретных цифрах.

Модель 10-обезьян

Для подсчета вероятностей мы будем пользоваться моделью 10-обезьян. Это очень простая модель, которая считает, что за столом сидит 10 игроков, которые голосуют строго случайно и как попало. Они достаточно разумны, чтобы не голосовать против единственного шерифа и его красных проверок, но на этом их мудрость заканчивается. В остальном, обезьяна голосует с равной вероятностью в любого из сидящих за столом игроков.

Вопрос, отличается ли поведение среднестатистического игрока от поведения условной обезьяны, мы оставим открытым. Есть большое подозрение, что не отличается.

Я знаю один пример, где отличия есть. Это статистика первого раунда. В первом раунде чаще убивают черных игроков, чем это сделали бы обезьяны. Это связано с деятельностью шерифа и его проверок. Но в большинстве остальных случаев наблюдается абсолютно случайное поведение, прекрасно описываемое нашей любимой моделью.

Добавлю, что если все таки считать, что игроки умеют находить цвета друг друга, а не занимаются случайным угадыванием, то это не нивелирует результаты полученные с помощью модели 10-обезьян. Просто реальная жизнь будет немного оптимистичнее этих результатов. Но в остальном, там где у обезьян шансы выиграть выше, там и у нас получится лучше. И наоборот.

Как мы считаем вероятности

Очень просто. Например у нас за столом 9 человек, среди которых 3 мафа, одна красная проверка, а шерифа нет. Это значит, что обезьяны будут случайно голосовать среди 8 игроков (в красную проверку не будут), а шансы, что убьют мафа — 3/8. Шансы, что убьют мирного, соответственно 5/8. 

В этом месте действительность ветвится. Если они убивают мафа, то переходят дальше с двумя черными. Ночью черные убивают проверенного красного и мы оказываемся в мире, где за столом сидят 7 игроков среди которых 2 мафа. Теперь они с вероятностью 2/7 заголосуют черного, а с вероятностью 5/7 красного. И действительность опять разветвится.

А в альтернативной реальности, где с вероятностью 5/8 убили мирного, черных осталось трое. Они убивают проверенного красного ночью и оказываются во вселенной, где за столом сидит 7 игроков среди которых 3 черных. Теперь обезьяны убьют черного с вероятностью 3/7. А с вероятностью 4/7 убьют красного и наступит три-в-три.

На это можно посмотреть так, что вселенная сначала поделилась на два неравных куска в 3/8 от вселенной и 5/8 от вселенной. А потом та часть которая 5/8 еще поделилась на два куска в 3/7 от себя и 4/7. Причем в той вселенной которая 4/7 состоялось три-в-три. А какова доля этого самого три-в-три от той изначальной вселенной? Ну разумеется, 4/7 от 5/8. То есть перемножаем и получаем 20/56, или сокращая дробь 5/14. Это та доля вселенной в которой наступило три-в-три, или другими словами, вероятность этого события.

И вот рисуя это дерево, а потом суммируя те доли вселенной в которых состоялась победа красных, мы и получим вероятность победы красных.

Каковы шансы победить если мы не делаем распила

Так сделаем же это для того случая когда мы решили не пилить. Вот наша схема. Синим нарисована вероятность попасть в этот вариант действительности. Красные и черные кружки обозначают, соответственно, победу красных и черных. Соответственно, мы суммируем все синенькие числа под красными кружками и получаем вероятность победы красных.

У нас четыре красных кружка и числа под ними 3/140 + 1/35 + 1/28 + 1/28 = 0.0214 + 0.0286 + 0.0357 + 0.0357 = 0.121. Или переводя в проценты 12.1%. 

Не густо, друзья мои, не густо. Надо что-то делать. И мы все знаем что.

Каковы шансы победить, если мы успешно поднимаем троих?

Тут наша вселенная дробится в первом раунде на целых четыре куска:

  • Мы подняли троих красных.
  • Мы подняли двух красных и одного черного
  • Мы подняли одного красного и двух черных
  • Мы подняли трех черных

Каковы доли этих кусков? Это я предоставляю вам для упражнения посчитать самим. Скажу только результаты:

  • Шансы поднять ноль черных — 5/28 = 17.9%
  • Шансы поднять одного черного — 15/28 = 53.6%
  • Шансы поднять двух черных — 15/56 = 26.8%
  • Шансы поднять трех черных — 1/56 = 1.8%

Понятно, что шансов поднять трех черных, на самом деле, вообще нет. Они обязательно сломают. Но мы сейчас рассматриваем гипотетическую ситуацию. Каковы наши шансы поставить в распил трех черных? Они вот такие — около двух процентов.

Ну а теперь повторяем упражнение прошлого параграфа. Смотрим на схему и складываем синенькие числа под красными кружками. Получается 1/56 + 3/56 + 1/14 + 1/14 = 0.0179 + 0.0536 + 0.0714 + 0.0714 = 0.214. Или 21.4%.

Тоже не впечатляет, но все же двадцать процентов это намного лучше, чем десять процентов. Так что, пилите Шура, пилите. Они золотые.

А если черный сломает?

Ну тогда суммируя синие цифры под красными кружками получаем, что шансы красных победить 22.8%.

Надо ли черному ломать?

А чтобы ответить надо отдельно посчитать вероятности победы города для всех четырех случаев распила. Я не буду писать выкладки. Хотите, посчитайте сами — они считаются аналогично. А хотите, доверьтесь мне. Уверяю вас, я заслуживаю доверия. Спросите в Ванкуверском маф клубе и все вам скажут, Фантомасу можно доверять. 

Вот эти вероятности для случаев когда распил состоится:

  • Если в распиле нет черных, вероятность победы города 0%.
  • Если в распиле один черный, вероятность победы города 13.3%
  • Если в распиле два черных, вероятность победы города 46.7%
  • Если в распиле три черных, вероятность победы города 100%

 

Ну что мы видим? Как мы помним из предыдущего параграфа, если черный сломает в себя, что шансы выиграть 22.8%. То есть, ломать когда он один в распиле особого смысла нет. Шансы на победу черных от этого только уменьшаются. В остальных случаях ломать надо.

Но! Как мы знаем, если черному нет смысла что-то делать, то это само по себе повод сделать это. После слома красные с гораздо бОльшей вероятностью будут добивать тройку, чем кого-то еще. К сожалению модель 10-обезьян этого учесть не в состоянии. Ну… Спасибо и на том, что она может дать.